Series y residuos · Definición

Singularidad aislada

análisis complejosingularidades

Antes de empezar necesitas conocer

Pone nombre a lo que ocurre justo en un punto donde una función deja de ser holomorfa, y es la puerta de entrada al cálculo de residuos.

Definición

Una singularidad aislada de una función \(f\) es un punto \(z_0\) donde \(f\) no es holomorfa pero sí lo es en un disco perforado \(0<|z-z_0|<r\) alrededor de él.

Según la parte principal de la serie de Laurent en \(0<|z-z_0|<r\), hay tres casos. Si no tiene potencias negativas, la singularidad es evitable: \(f\) tiene límite finito en \(z_0\) y basta redefinir \(f(z_0)\). Si tiene finitas, con \(a_{-m}\neq0\) como más negativa, es un polo de orden \(m\). Si tiene infinitas, es esencial.

Hay criterios sin desarrollar la serie. Si \(|f|\) está acotada cerca de \(z_0\), la singularidad es evitable (teorema de Riemann). Si \(|f(z)|\to\infty\), es un polo. Si ninguna de las dos cosas ocurre, es esencial, y entonces \(f\) toma en cualquier entorno todos los valores complejos, salvo quizá uno (gran teorema de Picard).

Para un polo, \(f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m}\) con \(g\) holomorfa y \(g(z_0)\neq0\). Esto da una receta: factorizar, simplificar y mirar el exponente que queda. Ojo con las cancelaciones: \(\frac{z^2-1}{(z-1)^3}\) parece un polo de orden \(3\), pero es de orden \(2\).

No toda singularidad es aislada: \(\frac1{\sin(1/z)}\) tiene polos que se acumulan en \(0\), y las ramas de \(\sqrt z\) o \(\log z\) dejan de ser holomorfas en todo un corte. Error típico: decir que algo es evitable porque tiende a \(0\) por el eje real, cuando hay que acotar por todos los caminos.

Para pensar

¿Por qué \(\frac{z^2-1}{(z-1)^3}\) tiene un polo de orden \(2\) y no \(3\) en \(z=1\)?

Porque el numerador también se anula en \(1\): \(\frac{z^2-1}{(z-1)^3}=\frac{z+1}{(z-1)^2}\).

Si \(f\) tiene un polo en \(z_0\), ¿qué le pasa a \(|f(z)|\) cuando \(z\to z_0\)?

Tiende a infinito, por cualquier camino.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué tipo de singularidad tiene \(\frac{\sin z}{z}\) en \(z=0\)?
  2. ¿Qué tipo de singularidad tiene \(e^{1/z}\) en \(z=0\)?
  3. ¿Qué tipo de singularidad tiene \(\frac1{z^2+1}\) en \(z=i\)?
  4. La singularidad de \(\frac{\cos z-1}{z^2}\) en \(z=0\) es evitable. ¿Qué valor debe darse a \(f(0)\) para eliminarla?
  5. ¿De qué orden es el polo de \(\frac1{z^2(z-1)}\) en \(z=0\)?
  6. Si \(|f|\) está acotada en un disco perforado \(0<|z-z_0|<r\), ¿qué tipo de singularidad aislada tiene \(f\) en \(z_0\)?
  7. ¿Cuál de estas funciones tiene en \(z=0\) un punto singular que NO es una singularidad aislada?
  8. Clasifica la singularidad de \(\frac{z}{\sin z}\) en \(z=\pi\).
  9. Clasifica la singularidad de \(z\sin\frac1z\) en \(z=0\).
  10. ¿De qué orden es el polo de \(\frac{z^2-1}{(z-1)^3}\) en \(z=1\)?

Después de esto

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 3, §1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §68
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §3.2