Funciones analíticas · Definición
Función holomorfa
Antes de empezar necesitas conocer
Es la clase de funciones en la que vive casi todo el análisis complejo: derivables en un abierto, y por eso mucho más rígidas que las funciones reales derivables.
Definición
Una función compleja \(f\) es holomorfa en un abierto \(U\) del plano si es derivable en sentido complejo en cada punto de \(U\).
Se exige derivabilidad en todo un abierto, no en un solo punto. Por eso \(|z|^2\), derivable solo en el origen, no es holomorfa en ninguna parte, mientras que los polinomios en \(z\), \(e^z\), \(\sin z\) y \(\cos z\) lo son en todo \(\mathbb{C}\). La función \(1/z\) es holomorfa en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\). Una función holomorfa en todo \(\mathbb{C}\) se llama entera.
Suma, diferencia, producto y composición de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente \(f/g\) lo es donde \(g\neq0\). Las reglas de derivación son las del cálculo real, así que \(((z^2+1)^3)'=6z(z^2+1)^2\).
En términos de \(u\) y \(v\), \(f=u+iv\) es holomorfa en \(U\) cuando cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto y \(u\) y \(v\) tienen parciales continuas. Una consecuencia inmediata: si \(U\) es conexo y \(\operatorname{Re}f\) es constante, también \(f\) lo es.
Más adelante se verá que esta condición, aparentemente solo de primer orden, implica que \(f\) tiene derivadas de todos los órdenes y es suma de su serie de Taylor. Un error común es llamar holomorfa a una función derivable en un solo punto o solo sobre una recta.
Para pensar
¿Es holomorfa \(f(z)=\operatorname{Re} z\)?
No: con \(u=x\) y \(v=0\) se tiene \(u_x=1\neq0=v_y\), así que no cumple Cauchy-Riemann en ningún punto.
¿Por qué \(\tan z=\sin z/\cos z\) no es entera?
Porque es un cociente y \(\cos z\) se anula en los puntos \(\pi/2+k\pi\); fuera de ellos es holomorfa.
Ejercicios 10
- ¿Cuál de estas funciones es holomorfa en todo \(\mathbb{C}\)?
- ¿En qué conjunto es holomorfa \(f(z)=1/z\)?
- Decir que \(f\) es holomorfa en un abierto \(U\) significa que:
- La función \(f(z)=|z|^2\) es derivable en \(z=0\). ¿Es holomorfa en un abierto que contenga a \(0\)?
- Calcula \(f'(i)\) para la función holomorfa \(f(z)=z^2+3z\).
- Si \(f\) y \(g\) son holomorfas en \(U\), ¿cuál de estas funciones no es necesariamente holomorfa en todo \(U\)?
- Sea \(f=u+iv\) con \(u=x^2-y^2\) y \(v=axy\). ¿Para qué valor de \(a\) es \(f\) holomorfa?
- Calcula \(f'(1)\) para \(f(z)=(z^2+1)^3\).
- Si \(f\) es holomorfa en un abierto conexo \(U\) y \(u=\operatorname{Re}f\) es constante, ¿qué se concluye?
- ¿Con cuál par \((u,v)\) la función \(f=u+iv\) es holomorfa en todo \(\mathbb{C}\)?
Referencias
- Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §2.2
- James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §24–§25
- Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 2, §1.2