Fórmula de De Moivre

Si \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), la regla del producto de la forma polar dice que multiplicar suma ángulos y multiplica módulos. Aplicarla \(n\) veces da \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\). Es una inducción directa sobre \(n\), y la fórmula sigue valiendo para \(n=0\) y \(n<0\) porque \(z^{-1}\) tiene módulo \(1/r\) y argumento \(-\theta\).

Por ejemplo, para \((1+i)^8\) se escribe \(1+i=\sqrt2(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4)\) y resulta \((\sqrt2)^8(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16\), mucho más corto que multiplicar ocho veces. Geométricamente, elevar a una potencia estira el radio y multiplica el ángulo: una espiral cuando \(r\neq1\).

Cuando \(r=1\) se obtiene \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\); al comparar partes real e imaginaria con el binomio de Newton salen identidades como \(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\). Es una de las razones por las que la forma polar vale la pena.

La fórmula es para exponentes enteros. Con exponentes fraccionarios, como \(\frac1n\), el argumento \(\theta\) y sus equivalentes \(\theta+2\pi k\) dan resultados distintos; ese caso es el de las raíces \(n\)-ésimas, el concepto que sigue.