Series y residuos · Definición

Integral real por residuos

análisis complejoresiduos

Antes de empezar necesitas conocer

Resuelve integrales reales sin primitiva elemental llevándolas al plano complejo, donde basta contar residuos.

Definición

Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]

Se toma el contorno formado por el segmento \([-R,R]\) y la semicircunferencia \(C_R\) de radio \(R\) en el semiplano superior. Para \(R\) grande encierra todos los polos de \(f\) con parte imaginaria positiva, y el teorema de los residuos da \(\int_{-R}^{R}f\,dx+\int_{C_R}f\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}\).

Todo depende de que la integral sobre \(C_R\) tienda a \(0\). Si \(f=P/Q\) con \(\deg Q\ge\deg P+2\), entonces \(|f(z)|\le M/R^2\) en \(C_R\) y la longitud \(\pi R\) da la cota \(M\pi/R\to0\). Con diferencia de grados \(1\) la cota no basta y hace falta otro argumento. Además \(Q\) no debe anularse en el eje real.

Ejemplo guía: para \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+1}\) el único polo superior es \(i\), con residuo \(\frac{1}{2i}\), y el valor es \(2\pi i\cdot\frac{1}{2i}=\pi\). Errores típicos: sumar también los polos del semiplano inferior u olvidar el factor \(2\pi i\).

También se puede cerrar por el semiplano inferior, pero entonces el contorno es horario y cada residuo entra con signo negativo; el valor final es el mismo.

Para pensar

¿Por qué no se puede aplicar directamente la fórmula a \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)?

Porque \(\deg Q=\deg P+1\): la integral sobre \(C_R\) no tiende a \(0\) y la integral impropia no converge; solo existe como valor principal (\(0\), por imparidad).

Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+a^2}\) con \(a>0\).

El polo superior es \(ai\), con residuo \(\frac{1}{2ai}\); el valor es \(\pi/a\).

Ejercicios 10

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}\)
  2. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}\)
  3. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2}\)
  4. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}\)
  5. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\)
  6. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{4}+1}\)
  7. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}}\)

Problemas

  1. Para \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}\), ¿qué polos de \(1/(z^2+9)\) se incluyen en la suma de residuos?
  2. Calcula \(\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},\,i\right)\).
  3. Sea \(f=P/Q\) racional sin polos reales. ¿Qué condición garantiza que la integral sobre el semicírculo \(C_R\) tienda a \(0\) cuando \(R\to\infty\)?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 3, §2.1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. Cap. 7, §85
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §5.3