Teorema de Liouville

La demostración usa la fórmula integral de Cauchy para la derivada: si \(|f|\le M\) y tomamos la circunferencia \(|z-z_0|=R\), entonces \(|f'(z_0)|=\left|\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\right|\le\frac{M}{R}\). Como \(f\) es entera, \(R\) puede ser tan grande como queramos, así que \(f'(z_0)=0\) en cada punto y \(f\) es constante.

Su forma contrarrecíproca dice que toda función entera no constante es no acotada: toma módulos arbitrariamente grandes. Por eso \(\sin z\), \(\cos z\), \(e^z\) y todo polinomio no constante crecen sin límite en algún lugar de \(\mathbb{C}\), aunque \(\sin\) y \(\cos\) estén acotadas en el eje real. La diferencia con el cálculo real es drástica: \(\sin x\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\) y acotada sin ser constante.

El teorema se aplica a funciones auxiliares. Si \(f\) es entera y \(\operatorname{Re}f\le0\), entonces \(e^{f}\) está acotada; si \(|f|\ge1\), entonces \(1/f\) es entera y acotada; si \(f\) es doblemente periódica, está acotada por compacidad. En todos los casos \(f\) resulta constante. Es la clave de la demostración más corta del teorema fundamental del álgebra.

Errores típicos: olvidar que la cota debe valer en todo el plano (no basta en un disco ni en el eje real) y que la función debe ser entera, sin ningún polo. Una función como \(1/(z^2+1)\) está acotada lejos de \(\pm i\) y no es constante, porque no es entera.