Forma polar

Si \(z=a+bi\neq0\), el punto \((a,b)\) queda determinado por su distancia \(r=|z|\) al origen y por el ángulo \(\theta\) que forma el segmento con el eje real positivo. De la trigonometría, \(a=r\cos\theta\) y \(b=r\sin\theta\); de ahí sale la fórmula. Para recuperar \(\theta\) se usa \(\tan\theta=b/a\) mirando el cuadrante, no solo la arcotangente.

El argumento no es único: si \(\theta\) sirve, también \(\theta+2k\pi\) con \(k\) entero. Para fijar uno se toma el argumento principal \(\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]\). Por ejemplo, \(1+i=\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)\) y \(-1=\cos\pi+i\sin\pi\). El cero se excluye porque su ángulo queda indeterminado.

La utilidad está en el producto: si \(z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\) y \(z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\), las identidades de suma de ángulos dan \(z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big)\). Es decir, multiplicar es escalar los módulos y sumar los ángulos; dividir resta los ángulos. Multiplicar por \(i\) es girar \(\pi/2\).

Más adelante se abrevia \(\cos\theta+i\sin\theta\) como \(e^{i\theta}\), y la forma polar queda \(z=re^{i\theta}\). Cuidado con dos errores: dar un módulo negativo y sumar los módulos en lugar de multiplicarlos.