Teorema de los residuos

Al deformar el contorno hacia las singularidades interiores (teorema de Cauchy–Goursat), la integral sobre \(\gamma\) se descompone en pequeñas circunferencias alrededor de cada \(z_k\). En cada una, la serie de Laurent se integra término a término y solo sobrevive \(a_{-1}\), que es el residuo; de ahí el factor \(2\pi i\).

Dos condiciones son esenciales: \(\gamma\) debe tener orientación positiva (antihoraria) y solo cuentan las singularidades dentro de \(\gamma\); las de afuera no aportan. Si el contorno se recorre al revés, la integral cambia de signo.

Para calcular residuos conviene usar el atajo adecuado: en un polo simple, \(\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\); en un polo de orden \(m\), \(\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big]\). Para singularidades esenciales se lee el coeficiente \(a_{-1}\) en la serie, como en \(e^{1/z}\). Un residuo cero no significa ausencia de singularidad, como en \(1/z^2\).

El teorema generaliza la fórmula integral de Cauchy (el caso de un polo simple) y es la herramienta de fondo para evaluar integrales reales impropias.