Funciones analíticas · Definición

Derivada compleja

análisis complejoderivación compleja

Antes de empezar necesitas conocer

Formalmente se escribe igual que en el cálculo real, pero exige que el límite exista al acercarse desde todo el plano, lo cual es mucho más restrictivo.

Definición

La derivada \(f'(z_0)\) de una función compleja \(f\) en un punto \(z_0\) es el límite del cociente incremental cuando \(z\) tiende a \(z_0\) desde cualquier dirección del plano, si ese límite existe.

\[f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\]

Poniendo \(z=z_0+h\), la derivada es el límite de \(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\) cuando \(h\to0\) con \(h\) complejo. A diferencia de la recta real, hay infinitas direcciones de aproximación (real, imaginaria, en espiral…), y el límite debe ser el mismo en todas. Esa exigencia es lo que hace tan rígida a la teoría compleja.

Las reglas del cálculo real se demuestran con los mismos argumentos y siguen valiendo: \((z^n)'=nz^{n-1}\), \((fg)'=f'g+fg'\), \((f/g)'=(f'g-fg')/g^2\), la regla de la cadena y \((e^{z})'=e^{z}\). Además, derivable en \(z_0\) implica continua en \(z_0\), pero no al revés.

El ejemplo clave es \(f(z)=\bar z\): el cociente en cualquier punto es \(\bar h/h\), que vale \(1\) si \(h\) es real y \(-1\) si \(h\) es imaginario puro, así que no existe límite. Es continua en todas partes y no es derivable en ninguna. Del mismo modo \(|z|^2\) solo es derivable en el origen. Mirando el cociente por \(h\) real y por \(h\) imaginario aparecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Un error frecuente es pensar que, como \(f(x+iy)=u+iv\) tiene derivadas parciales, es derivable en sentido complejo; no basta. Que una función sea derivable en todo un abierto es una condición fortísima, y es el punto de partida de las funciones holomorfas.

Para pensar

¿Por qué \(f(z)=\bar z\) es continua pero no derivable?

Porque \(|\bar z-\bar z_0|=|z-z_0|\) garantiza la continuidad, pero el cociente \(\bar h/h\) vale \(1\) y \(-1\) según la dirección de \(h\), así que no tiene límite.

Si \(f'(z_0)\) existe, ¿puede depender de la dirección con la que \(h\to0\)?

No: por definición el límite es único y es el mismo para toda dirección; si cambiara con la dirección, la derivada no existiría.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(f'(3)\) para \(f(z)=z^2\).
  2. Si \(f(z)=z^5\), ¿cuánto vale \(f'(1)\)?
  3. Calcula \(f'(2)\) para \(f(z)=\dfrac1z\).
  4. ¿Cuál es la derivada de \(e^{z}\) en \(z=0\)?
  5. Si \(f\) es derivable en \(z_0\), ¿qué se concluye?
  6. Calcula \(f'(1+i)\) para \(f(z)=z^3-2z^2+5z\).
  7. Calcula \(g'(0)\) para \(g(z)=z\,e^{z}\).
  8. Calcula \(h'(1)\) para \(h(z)=\dfrac{z^2}{z+1}\).
  9. Para \(f(z)=\bar z\) en \(z_0=2\), ¿qué ocurre con el cociente incremental?
  10. Para \(f(z)=|z|^2\), ¿en qué puntos existe \(f'(z)\)?

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §2.1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §19–23