Fórmula integral de Cauchy

Si \(f\) es holomorfa sobre un contorno cerrado simple \(C\) y en su interior, recorrido en sentido positivo, y \(z_0\) está dentro de \(C\), entonces \(\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\,f(z_0)\). Se demuestra con Cauchy-Goursat: se deforma \(C\) hasta una circunferencia pequeña alrededor de \(z_0\), donde \(f\) es casi constante y la integral de \(\frac{1}{z-z_0}\) vale \(2\pi i\).

Es útil como regla de cálculo: ante una integral con un factor \(\frac{1}{z-z_0}\), identificas \(f\) como el resto del integrando y evalúas \(f(z_0)\). Así \(\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}dz=2\pi i\,e\). Si el integrando tiene varios puntos problemáticos, como \(\frac{1}{z^2-1}\), se separa con fracciones parciales y se aplica la fórmula a cada término. Si \(z_0\) queda fuera de \(C\), la integral es cero.

El resultado es sorprendente: los valores de \(f\) en la frontera determinan los del interior. En una circunferencia centrada en \(z_0\) se obtiene la propiedad del valor medio, \(f(z_0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{it})dt\). Derivando respecto de \(z_0\) bajo la integral se ve además que \(f\) tiene derivadas de todos los órdenes, \(f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\); de ahí que toda función holomorfa sea analítica.

Errores típicos: aplicarla cuando \(f\) tiene una singularidad dentro de \(C\) (entonces \(f\) no es holomorfa en la región), olvidar el factor \(2\pi i\) y descuidar la orientación, que cambia el signo. Es la herramienta central para teoremas como el de Liouville y el teorema fundamental del álgebra.