Límite complejo

La definición pide que \(|f(z)-L|\) sea pequeño siempre que \(z\) esté en un disco pequeño alrededor de \(z_0\), con \(z\neq z_0\). Como un disco contiene puntos en todas las direcciones, el límite exige un único valor sin importar la trayectoria: en \(\mathbb{R}\) solo hay dos lados, en \(\mathbb{C}\) hay infinitas direcciones. El valor \(f(z_0)\) no interviene, y \(z_0\) debe ser un punto de acumulación del dominio.

Las reglas son las de siempre: el límite de una suma, producto y cociente (con denominador de límite no nulo) es la suma, el producto y el cociente de los límites. Además \(f=u+iv\) tiene límite \(L=a+ib\) si y solo si \(u\to a\) y \(v\to b\) en el sentido de dos variables reales, lo que reduce el cálculo a límites en \(\mathbb{R}^2\).

Para calcular, se simplifica primero: \((z^2+4)/(z-2i)=z+2i\) cuando \(z\neq 2i\), así que el límite en \(2i\) es \(4i\). Para demostrar que no existe, basta dar dos trayectorias con valores distintos, como en \(\bar z/z\) en \(0\), que vale \(1\) sobre el eje real y \(-1\) sobre el imaginario. Lo contrario no sirve: coincidir en varias trayectorias no prueba la existencia.

Un criterio útil: \(f(z)\to L\) equivale a \(|f(z)-L|\to 0\), y si \(|f(z)-L|\le C|z-z_0|\) el límite es \(L\). Con el límite ya definido, la continuidad se enuncia diciendo que el límite coincide con el valor de la función.