Integración compleja · Definición

Teorema de Cauchy-Goursat

análisis complejointegración compleja

Antes de empezar necesitas conocer

Es el resultado central de la integración compleja: explica por qué casi todas las integrales cerradas se anulan y de dónde sale todo lo que sigue.

Definición

El teorema de Cauchy-Goursat dice que, si \(f\) es holomorfa en un abierto simplemente conexo \(D\), su integral sobre cualquier contorno cerrado \(C\) contenido en \(D\) es cero.

\[\oint_C f(z)\,dz=0\]

Goursat probó el teorema sin suponer que la derivada \(f'\) sea continua, solo que \(f\) es derivable en cada punto; Cauchy lo había demostrado antes con esa hipótesis extra. La idea de la prueba es descomponer la región en triángulos pequeños: en cada uno la función se parece a una función lineal, cuya integral cerrada es cero, y las contribuciones de las aristas interiores se cancelan.

La hipótesis importante es doble: \(f\) debe ser holomorfa en todos los puntos de la región que encierra la curva, no solo sobre ella, y esa región no puede tener agujeros. Por eso \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i\neq 0\): la función \(1/z\) es holomorfa sobre la circunferencia, pero no en el punto \(z=0\) que queda dentro.

Una consecuencia inmediata es la deformación de contornos: si \(f\) es holomorfa en la región entre dos curvas cerradas, ambas integrales coinciden, y se puede encoger o estirar la curva sin cambiar el valor mientras no cruce un punto problemático. También implica que la integral entre dos puntos no depende del camino, lo que conduce a la primitiva.

Un error típico es leer el teorema al revés: que la integral sea cero no prueba que \(f\) sea holomorfa. Por ejemplo, \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2}=0\) aunque \(1/z^2\) no sea holomorfa en el origen. El teorema da una condición suficiente, no necesaria.

Para pensar

¿Por qué el teorema no se aplica a \(\oint_{|z|=1}\bar z\,dz\)?

Porque \(\bar z\) no es holomorfa en ningún punto; falla la hipótesis principal. De hecho la integral vale \(2\pi i\), no \(0\).

Si \(f\) es holomorfa en un disco, ¿qué puedes decir de \(\int_{z_0}^{z_1}f\,dz\) por dos caminos distintos?

Que dan el mismo valor: la diferencia es la integral sobre un contorno cerrado dentro del disco, que es \(0\).

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}(3z^2-2z+5)\,dz\), con la circunferencia recorrida una vez.
  2. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}e^{z}\,dz\).
  3. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+9}\).
  4. ¿En cuál caso NO se puede aplicar directamente el teorema de Cauchy-Goursat?
  5. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z-2|=1}\frac{dz}{z}\).
  6. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\bar z\,dz\).
  7. Sea \(D\) simplemente conexo y \(\oint_C f\,dz\neq 0\) para algún contorno cerrado \(C\) en \(D\). ¿Qué se concluye?
  8. Se sabe que \(\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i\). ¿Cuánto vale \(\oint_{|z|=3}\frac{dz}{z}\)?
  9. Calcula \(\displaystyle\oint_T\tan z\,dz\), con \(T\) el triángulo de vértices \(0,\,1,\,i\) recorrido una vez.
  10. Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=2}\Bigl(\frac1z+\frac1{z-3}+z^3\Bigr)dz\).

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 2, §1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §46–48
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §1.3