Funciones analíticas · Definición

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

análisis complejoderivación compleja

Antes de empezar necesitas conocer

Traducen la derivabilidad compleja a un lenguaje de funciones reales de dos variables, y sirven para probar o descartar que una función sea derivable.

Definición

Las dos igualdades entre las derivadas parciales de la parte real \(u\) y de la parte imaginaria \(v\) de una función \(f=u+iv\) derivable en un punto.

\[u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x\]

Si \(f=u+iv\) es derivable en \(z_0=x_0+iy_0\), el límite del cociente incremental es el mismo al acercarse con \(h\) real y con \(h=ik\) imaginario puro. Con \(h\) real se obtiene \(f'(z_0)=u_x+iv_x\); con \(h=ik\) se obtiene \(f'(z_0)=v_y-iu_y\). Igualar partes real e imaginaria da \(u_x=v_y\) y \(u_y=-v_x\).

Como consecuencia, la derivada puede calcularse con parciales: \(f'=u_x+iv_x\). Por ejemplo, para \(f(z)=z^2\) se tiene \(u=x^2-y^2\) y \(v=2xy\), de modo que \(u_x=2x=v_y\) y \(u_y=-2y=-v_x\); y \(f'=2x+2iy=2z\).

Las ecuaciones son necesarias, pero no siempre suficientes: si se cumplen en \(z_0\) y además \(u\) y \(v\) son diferenciables (en sentido real) en \(z_0\), por ejemplo cuando tienen parciales continuas, entonces \(f\) es derivable en \(z_0\). Sin esa hipótesis extra puede fallar la implicación.

Se usan sobre todo para descartar: \(f(z)=\bar z\) tiene \(u_x=1\) y \(v_y=-1\), así que no es derivable en ningún punto, y \(|z|^2\) solo las cumple en el origen. Un error típico es olvidar el signo menos de la segunda ecuación.

Para pensar

Si \(u_x=v_y\) y \(u_y=-v_x\) en un punto, ¿por qué no basta para que \(f\) sea derivable allí?

Porque las ecuaciones solo comparan dos direcciones (horizontal y vertical); la derivada compleja exige el mismo límite en todas, lo que se garantiza si además \(u\) y \(v\) son diferenciables en el punto.

¿Qué dice la ecuación \(f'=u_x+iv_x\) sobre \(|f'|^2\)?

Que \(|f'|^2=u_x^2+v_x^2=u_xv_y-u_yv_x\), el determinante jacobiano de \((u,v)\) respecto a \((x,y)\).

Ejercicios 10

  1. Para \(f(z)=z^2\) se tiene \(u=x^2-y^2\) y \(v=2xy\). ¿Cuánto vale \(u_x\)?
  2. ¿Cuál es el par correcto de ecuaciones de Cauchy-Riemann?
  3. Para \(f(z)=e^z\), con \(u=e^x\cos y\) y \(v=e^x\sin y\), ¿cuánto vale \(v_y\)?
  4. Para \(f(z)=\bar z\), con \(u=x\) y \(v=-y\), ¿en qué puntos se cumple \(u_x=v_y\)?
  5. Para \(f(z)=|z|^2\), con \(u=x^2+y^2\) y \(v=0\), ¿en qué puntos se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
  6. Si \(f=u+iv\) es derivable en \(z\), entonces \(f'(z)=u_x+iv_x\). Calcula \(f'(1+i)\) para \(f(z)=z^2\).
  7. Sea \(u=x^2-y^2\). ¿Qué \(v\), con \(v(0,0)=0\), hace que \(u\) y \(v\) cumplan Cauchy-Riemann?
  8. Sea \(u=e^x\cos y\). ¿Qué \(v\) cumple Cauchy-Riemann junto con \(u\)?
  9. Si \(f=u+iv\) cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, ¿qué se puede asegurar?
  10. Para \(u=x^2\) y \(v=y^2\), ¿dónde se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

Después de esto

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 1, §2.3
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §21–§23
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 2, §1.3