Exponencial compleja

Para \(z=x+iy\) se define \(e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)\). Cuando \(y=0\) se recupera la exponencial real, y cuando \(x=0\) se obtiene la fórmula de Euler \(e^{iy}=\cos y+i\sin y\), que da por ejemplo \(e^{i\pi}=-1\). Con esta notación la forma polar \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\) se escribe de forma compacta como \(re^{i\theta}\).

La propiedad básica es \(e^{z+w}=e^{z}e^{w}\), que equivale a multiplicar módulos y sumar argumentos, y de ella se deduce \(e^{-z}=1/e^{z}\). Además \(|e^{z}|=e^{x}>0\), de modo que la exponencial jamás vale cero; en cambio, sumar \(2\pi\) a \(y\) no cambia el ángulo, y por eso \(e^{z+2\pi i}=e^{z}\).

Esa periodicidad es la gran novedad respecto al caso real: \(e^{z}\) no es inyectiva, y \(e^{z}=e^{w}\) se cumple exactamente cuando \(z-w=2\pi i k\) con \(k\) entero. Geométricamente, la recta vertical \(x=c\) se envía a la circunferencia de radio \(e^{c}\), recorrida una vez cada \(2\pi\), y una franja horizontal de altura \(2\pi\) cubre todo \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\).

Es continua en todo \(\mathbb{C}\) (porque lo son \(e^{x}\), \(\cos y\) y \(\sin y\)). Un error común es suponer que \(e^{z}=1\) solo para \(z=0\); en realidad vale en todos los \(2\pi i k\). Esa pérdida de inyectividad es justo lo que obliga a definir el logaritmo como función multivaluada.