Si \(\mathbb{N}\) fuera finito, no podría admitir una inyección en un subconjunto propio de sí mismo, pero \(f\) es una. Esa contradicción es la idea de la prueba.
Un conjunto \(A\) es infinito si no es finito, es decir, si no existe ninguna biyección entre \(A\) y \(\{1,\dots,n\}\) para ningún \(n\in\mathbb{N}\).