Ejercicio · ZW-INTEGRAL-DE-SUPERFICIE-009 · ★★★ Avanzado
El área de la parte del paraboloide \(z=x^2+y^2\) con \(z\le1\) es:
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- D. \(\dfrac{\pi}{6}\left(5\sqrt5-1\right)\)
Explicación
\(dS=\sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta\) con \(0\le r\le1\): \(2\pi\cdot\tfrac1{12}\left(5\sqrt5-1\right)=\tfrac{\pi}{6}\left(5\sqrt5-1\right)\).
Repasa el concepto: Integral de superficie
La integral de superficie de una función \(f\) sobre una superficie \(S\), parametrizada por \(\mathbf r\) sobre una región \(D\), suma los valores de \(f\) ponderados por el área de cada pedazo de \(S\).
\[\iint_S f\,dS=\iint_D f(\mathbf r(u,v))\,\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\,du\,dv\]
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