Integral triple

Con \(f=1\) la integral triple es el volumen de \(E\), y si \(\rho\) es una densidad, \(\iiint_E\rho\,dV\) es la masa. El valor promedio de \(f\) en \(E\) es \(\tfrac1{V(E)}\iiint_E f\,dV\). Como en dos variables, la integral es lineal y aditiva respecto al sólido, y existe si \(f\) es continua y \(E\) tiene frontera suave a trozos.

Se calcula con integrales iteradas. En una caja \([a,b]\times[c,d]\times[p,q]\), el teorema de Fubini permite integrar en cualquiera de los \(3!=6\) órdenes con el mismo resultado. Si \(E\) es el sólido \(\{(x,y)\in D,\ u_1(x,y)\le z\le u_2(x,y)\}\), entonces \(\iiint_E f\,dV=\iint_D\Big[\int_{u_1}^{u_2}f\,dz\Big]dA\): la integral interior recorre un segmento vertical que entra por \(u_1\) y sale por \(u_2\), y el resultado se integra sobre la proyección \(D\).

Ejemplo guía: el tetraedro limitado por los planos coordenados y \(x+y+z=1\) tiene volumen \(\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx=\tfrac16\). El método práctico es dibujar el sólido y su sombra \(D\) en el plano \(xy\), escribir primero los límites de \(z\) con las superficies de abajo y de arriba, y después describir \(D\) como una región general.

Errores típicos: poner en los límites exteriores variables que ya se integraron, equivocar cuál superficie es la de arriba y olvidar que el orden de las diferenciales debe corresponder al de los límites, de adentro hacia afuera. Cuando el sólido tiene simetría circular o esférica, conviene pasar a coordenadas cilíndricas o esféricas.