Curva de nivel

Es la idea de un mapa topográfico: cada línea une los puntos de la misma altura. Para \(f(x,y)=x^2+y^2\) la curva de nivel \(f=c\) es la circunferencia de radio \(\sqrt c\) si \(c>0\), el origen si \(c=0\) y el conjunto vacío si \(c<0\). Se llama también línea de contorno, y en meteorología, isoterma o isobara cuando \(f\) es temperatura o presión.

Cada curva de nivel es la sección de la gráfica \(z=f(x,y)\) con el plano horizontal \(z=c\), proyectada sobre el plano \(xy\). Dos curvas de nivel distintas nunca se cortan, pues cada punto tiene un solo valor de \(f\). Si se dibujan con valores equiespaciados, las curvas muy juntas indican una gráfica empinada y las separadas, una gráfica casi plana.

Una curva de nivel puede ser una recta, una circunferencia, una elipse, una hipérbola o incluso dos rectas, como en \(f(x,y)=xy\) con \(c=0\). Para funciones de tres variables el equivalente es la superficie de nivel \(f(x,y,z)=c\). Estas curvas preparan el gradiente: más adelante verás que es perpendicular a ellas.