Coordenadas polares

El par \((r,\theta)\) se relaciona con \((x,y)\) mediante \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), y a la inversa \(r^2=x^2+y^2\), \(\tan\theta=y/x\). La representación no es única: \(\theta\) y \(\theta+2\pi\) dan el mismo punto, y el origen tiene \(r=0\) con cualquier ángulo. Al recuperar \(\theta\) hay que fijarse en el cuadrante, porque \(\arctan(y/x)\) solo devuelve ángulos entre \(-\tfrac{\pi}{2}\) y \(\tfrac{\pi}{2}\).

Una región «rectangular en polares» es \(\{a\le r\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta\}\): un anillo o un sector. Allí \(\iint_D f\,dA=\int_\alpha^\beta\!\int_a^b f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\). El factor \(r\) es el jacobiano del cambio de variables: una celda a distancia \(r\) mide \(dr\) en la dirección radial y \(r\,d\theta\) a lo largo del arco, así que su área no es \(dr\,d\theta\).

Ejemplo guía: \(\iint_D (x^2+y^2)\,dA\) sobre el disco unitario es \(\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta=\tfrac{\pi}{2}\), mientras que en cartesianas exige integrar \(\sqrt{1-x^2}\) y potencias de ella. Con el mismo método, \(\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dA=\pi\), de donde \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\). Si la región es \(g_1(\theta)\le r\le g_2(\theta)\), los límites interiores dependen de \(\theta\), igual que en una región general.

Errores típicos: olvidar el factor \(r\), dejar \(x\) o \(y\) sin sustituir en el integrando y escoger polares cuando la región o el integrando no tienen nada circular. Este cambio de variables es el caso plano de las coordenadas cilíndricas, y ambos son ejemplos del cambio de variables general con el jacobiano.