Superficie cuádrica

Las cuádricas son el análogo en el espacio de las cónicas del plano. Tras una rotación y una traslación, toda cuádrica se reduce a una forma estándar, y las no degeneradas son seis: elipsoide \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\), hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico. Si \(a=b=c\) el elipsoide es una esfera.

La herramienta para reconocerlas son las trazas, las curvas que resultan al cortar con planos \(x=k\), \(y=k\) o \(z=k\). En el paraboloide \(z=x^2+y^2\) las trazas horizontales son circunferencias y las verticales son parábolas; en el cono \(z^2=x^2+y^2\) las horizontales son circunferencias y, en \(z=0\), degeneran en un punto. Los signos de los términos cuadráticos deciden la forma: tres positivos dan un elipsoide, uno negativo da hiperboloides y, cuando una variable aparece solo a la primera potencia, se obtienen paraboloides.

Hay que cuidar el caso de las variables ausentes: en \(\mathbb R^3\), la ecuación \(x^2+y^2=4\) no menciona a \(z\), así que describe un cilindro, no una circunferencia. Si el centro no está en el origen se completan cuadrados, como en \(x^2-2x+y^2=3\), que equivale a \((x-1)^2+y^2=4\). En cálculo multivariable aparecerán como gráficas de funciones de dos variables y como superficies de nivel de funciones de tres.