Campo conservativo

El resultado central es el teorema fundamental de las integrales de línea: si \(\mathbf F=\nabla f\) y \(C\) va de \(A\) a \(B\), entonces \(\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=f(B)-f(A)\). Es la versión multivariable de la regla de Barrow. De aquí salen dos consecuencias: la integral no depende del camino y, en una curva cerrada, vale \(0\). Estas tres propiedades (ser gradiente, independencia de la trayectoria y circulación nula) son equivalentes en una región conexa.

Para decidir si un campo \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) del plano es conservativo se usa la prueba de las parciales cruzadas: si lo es, entonces \(P_y=Q_x\), porque \(f_{xy}=f_{yx}\). Recíprocamente, si \(P_y=Q_x\) en una región sin agujeros (simplemente conexa), el campo es conservativo. En el espacio se piden las tres igualdades análogas entre las parciales de \(P,Q,R\). Para \(\langle y,x\rangle\) se cumple \(1=1\) y el potencial es \(xy\); para \(\langle -y,x\rangle\) falla (\(-1\ne1\)).

Para hallar el potencial se integra \(f_x=P\) respecto de \(x\), lo que da \(f=\int P\,dx+g(y)\); luego se deriva en \(y\), se iguala a \(Q\) y se despeja \(g\). El potencial queda definido salvo una constante, y esa constante no afecta a \(f(B)-f(A)\). Con él, la integral se calcula sin parametrizar nada.

Error típico: aplicar \(P_y=Q_x\) en una región con un agujero. El campo \(\langle -y,x\rangle/(x^2+y^2)\) cumple la igualdad en \(\mathbb R^2\setminus\{0\}\), pero su circulación alrededor del origen es \(2\pi\): no es conservativo allí. Este concepto usa el gradiente y la integral de línea vectorial, y es el caso en que el trabajo no depende de la trayectoria.