Vectores y curvas en el espacio · Definición

Curva paramétrica

cálculo multivariablecurvas

Describe una curva como el recorrido de un punto en el tiempo, lo que permite estudiar su velocidad, su tangente y su longitud con las herramientas del cálculo.

Definición

Una curva paramétrica es la trayectoria que describe un punto del espacio cuando sus coordenadas dependen de un parámetro \(t\) a través de una función vectorial \(\mathbf r\).

\[\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle,\quad a\le t\le b\]

Una curva paramétrica distingue dos cosas que la gráfica de una función mezcla: el conjunto de puntos (la traza) y la manera de recorrerlo. Con \(\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle\) y con \(\mathbf r(t)=\langle\cos2t,\sin2t\rangle\) la traza es el mismo círculo, pero la segunda lo recorre al doble de velocidad. Por eso una curva en el plano o en el espacio se describe con una función vectorial y no con una ecuación \(y=f(x)\), que no puede representar círculos completos ni trayectorias que se cruzan a sí mismas.

Para pasar de ecuaciones paramétricas a una ecuación cartesiana se elimina el parámetro: de \(x=t+1,\ y=2t\) se despeja \(t=x-1\) y resulta \(y=2x-2\); de \(x=3\cos t,\ y=2\sin t\) se usa \(\cos^2t+\sin^2t=1\) y resulta una elipse. La eliminación puede perder información, pues no dice en qué sentido se recorre la curva ni qué parte de la gráfica se cubre: \(\langle t^2,t^4\rangle\) satisface \(y=x^2\) pero solo traza la mitad con \(x\ge0\).

El cálculo se hace componente a componente: \(\mathbf r'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle\) es el vector velocidad, tangente a la curva y apuntando en el sentido en que crece \(t\). La recta tangente en \(t_0\) pasa por \(\mathbf r(t_0)\) con dirección \(\mathbf r'(t_0)\) siempre que esa derivada no sea el vector cero. Un segmento de \(P\) a \(Q\) se parametriza como \(\mathbf r(t)=P+t(Q-P)\) con \(0\le t\le1\), y la hélice \(\langle\cos t,\sin t,t\rangle\) es el ejemplo clásico de curva que no cabe en el plano.

Un error frecuente es identificar la curva con su ecuación cartesiana e ignorar el intervalo del parámetro: el mismo par de ecuaciones con distinto intervalo da curvas distintas. Con la velocidad \(\mathbf r'(t)\) se mide enseguida la distancia recorrida, tema del siguiente concepto, la longitud de arco.

Para pensar

¿Pueden dos parametrizaciones distintas tener la misma traza? Da un ejemplo.

Sí. \(\langle\cos t,\sin t\rangle\) y \(\langle\cos2t,\sin2t\rangle\) con \(0\le t\le2\pi\) trazan el mismo círculo; la segunda lo recorre dos veces y más rápido.

¿Por qué \(\mathbf r'(t)\) es tangente a la curva?

Porque \(\mathbf r'(t)\) es el límite de los vectores secantes \((\mathbf r(t+h)-\mathbf r(t))/h\), que van de un punto de la curva a otro cercano y, al acercarse, se alinean con la curva.

Ejercicios 10

  1. Sea \(\mathbf r(t)=\langle 2t,\,t^2\rangle\). ¿Qué punto corresponde a \(t=3\)?
  2. Elimina el parámetro en \(x=t+1,\ y=2t\). ¿Qué ecuación cartesiana resulta?
  3. ¿Qué curva traza \(\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle\) para \(0\le t\le 2\pi\)?
  4. ¿Qué curva del espacio es \(\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle\)?
  5. Si \(\mathbf r(t)=\langle t^2,\,t^3\rangle\), ¿cuánto vale \(\mathbf r'(1)\)?
  6. ¿Cuál es la recta tangente a \(\mathbf r(t)=\langle t,\,t^2\rangle\) en \(t=1\)?
  7. ¿Qué ecuación cartesiana cumplen los puntos de \(x=3\cos t,\ y=2\sin t\)?
  8. ¿Cuál parametriza el segmento de \((1,2,0)\) a \((3,0,4)\) con \(0\le t\le1\)?
  9. Sean \(\mathbf r_1(t)=\langle t,t^2\rangle\) y \(\mathbf r_2(t)=\langle t^2,t^4\rangle\), con \(t\in\mathbb R\). ¿Qué es verdadero?
  10. Para \(0\le t\le2\pi\), ¿cuántas veces recorre el círculo unitario \(\mathbf r(t)=\langle\cos2t,\sin2t\rangle\)?

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §13.1
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §3.1
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §13.1