Teorema de la divergencia

Se pide que \(S\) sea cerrada, suave a trozos y orientada hacia afuera, y que \(\mathbf F\) tenga derivadas parciales continuas en un abierto que contenga a \(E\) y a \(S\). La idea física es un balance: \(\nabla\cdot\mathbf F\) mide cuánto fluido se crea por unidad de volumen en cada punto, y el flujo neto hacia afuera es la suma de todas esas fuentes dentro de \(E\).

Ejemplo guía: para \(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\) se tiene \(\nabla\cdot\mathbf F=3\), de modo que el flujo exterior por cualquier superficie cerrada es \(3\) veces el volumen que encierra; para la esfera unitaria da \(4\pi\). Si \(\nabla\cdot\mathbf F=0\) en todo \(E\), el flujo por \(S\) es nulo: lo que entra es lo que sale.

Una superficie abierta se puede cerrar con una tapa sencilla: se aplica el teorema a la superficie cerrada y se resta el flujo por la tapa, como en la semiesfera cerrada con su disco. El error más frecuente es aplicar el teorema cuando \(\mathbf F\) no es suave en algún punto interior, como el campo \(\mathbf r/|\mathbf r|^3\) en el origen, o olvidar que la normal debe apuntar hacia afuera.

En el plano, el teorema de Green en forma de flujo es el caso análogo. Junto con el de Stokes, el teorema de la divergencia es una instancia del mismo principio: la integral de una derivada sobre una región es una integral del campo sobre su frontera.