Integral de línea de una función escalar

Con \(f=1\) la integral de línea es la longitud de la curva, \(\int_C ds=L\). Si \(\rho\) es la densidad lineal de un alambre con forma \(C\), entonces \(\int_C\rho\,ds\) es su masa, y \(\tfrac1L\int_C f\,ds\) es el valor promedio de \(f\) sobre la curva. El factor \(\|\mathbf r'(t)\|\,dt\) es precisamente \(ds\), el elemento de longitud de arco.

Para calcularla se parametriza \(C\), se sustituye \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(z=z(t)\) en \(f\), se multiplica por \(\|\mathbf r'(t)\|\) y se integra en \(t\). Por ejemplo, sobre la circunferencia unitaria \(\mathbf r=\langle\cos t,\sin t\rangle\) se tiene \(\|\mathbf r'\|=1\) y \(\int_C y\,ds=\int_0^{\pi}\sin t\,dt=2\) en la mitad superior. Si \(C\) consta de varios tramos, se suman las integrales de cada uno.

El resultado no depende de la parametrización ni de la orientación: recorrer la curva al revés o con otra rapidez cambia \(\mathbf r'\), pero la longitud \(ds\) sigue siendo positiva y el valor es el mismo. Esa es la diferencia clave con la integral de línea de un campo vectorial, que sí cambia de signo al invertir el sentido.

Error típico: olvidar el factor \(\|\mathbf r'(t)\|\) y calcular \(\int_a^b f(\mathbf r(t))\,dt\), que depende de la parametrización elegida y no mide la curva. Conecta con la longitud de arco (caso \(f=1\)) y prepara la integral de línea de un campo vectorial.