Integrales múltiples · Definición

Teorema de Fubini

cálculo multivariableintegrales múltiples

Antes de empezar necesitas conocer

Convierte una integral doble, imposible de calcular con sumas, en dos integrales de una variable que ya sabes resolver.

Definición

Si \(f\) es continua en un rectángulo \(R=[a,b]\times[c,d]\), su integral doble respecto al área \(A\) se calcula como integral iterada, integrando en cualquier orden.

\[\iint_R f\,dA=\int_a^b\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy\]

Fijar \(x\) y calcular \(A(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy\) es medir el área de la rebanada del sólido que está sobre la recta vertical en ese \(x\). Integrar \(A(x)\) de \(a\) a \(b\) suma todas las rebanadas y da el volumen. Es el principio de Cavalieri, y es lo que dice el teorema: el volumen no depende de si cortas en rebanadas paralelas a un eje o al otro.

En la práctica se integra de adentro hacia afuera: en la integral interior, la otra variable se trata como constante. Ambos órdenes dan el mismo número, pero uno puede ser mucho más sencillo; por ejemplo, para \(x e^{xy}\) conviene integrar primero en \(y\), pues la primitiva en \(x\) exigiría integrar por partes.

Cuando \(f(x,y)=g(x)h(y)\) en un rectángulo, la integral doble se factoriza: \(\iint_R f\,dA=\int_a^b g\,dx\cdot\int_c^d h\,dy\). Ejemplo guía: \(\iint_R xy\,dA\) con \(R=[0,2]\times[0,3]\) vale \(2\cdot\tfrac92=9\). Esta factorización solo es válida en rectángulos y para funciones que sean producto de una función de \(x\) por una de \(y\).

Errores típicos: factorizar cuando \(f\) no es producto (por ejemplo \(x+y\)), olvidar que los límites de cada integral pertenecen a su propia variable, y aplicar el teorema sin continuidad. El caso de regiones que no son rectángulos se trata en la integral doble en una región general.

Para pensar

¿Por qué \(\iint_R(x+y)\,dA\) no es \(\int_a^b(x+y)\,dx\cdot\int_c^d(x+y)\,dy\)?

Porque la factorización exige que \(f\) sea un producto \(g(x)h(y)\); \(x+y\) es una suma. Con Fubini se calcula \(\int_a^b\!\int_c^d(x+y)\,dy\,dx\) directamente.

¿Qué ventaja tiene elegir el orden de integración?

Un orden puede dar una primitiva elemental y el otro obligar a integrar por partes o no tener primitiva elemental; el resultado final es el mismo.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\iint_R xy\,dA\) sobre \(R=[0,2]\times[0,3]\).
  2. Calcula \(\iint_R (x+y)\,dA\) sobre \(R=[0,1]\times[0,2]\).
  3. Calcula \(\iint_R e^{x+y}\,dA\) sobre \(R=[0,1]\times[0,1]\).
  4. Calcula \(\iint_R x^2y\,dA\) sobre \(R=[1,2]\times[0,1]\).
  5. Calcula \(\iint_R \sin x\cos y\,dA\) sobre \(R=[0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{\pi}{2}]\).
  6. Calcula \(\iint_R 6xy^2\,dA\) sobre \(R=[0,1]\times[-1,1]\).
  7. Sea \(f\) continua en \(R=[a,b]\times[c,d]\). ¿Qué afirma el teorema de Fubini?
  8. Calcula \(\iint_R xe^{xy}\,dA\) sobre \(R=[0,1]\times[0,1]\). Conviene integrar primero en \(y\).
  9. Si \(f(x,y)=g(x)h(y)\) con \(g,h\) continuas, ¿cuánto vale \(\iint_R f\,dA\) en \(R=[a,b]\times[c,d]\)?
  10. Calcula \(\iint_R y\cos(xy)\,dA\) sobre \(R=[0,1]\times[0,\pi]\). Elige bien el orden.

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §15.2
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §15.2
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §5.2