Multiplicadores de Lagrange

Para aplicarlo se plantea el sistema \(f_x=\lambda g_x\), \(f_y=\lambda g_y\), \(g(x,y)=k\): tres ecuaciones con incógnitas \(x\), \(y\), \(\lambda\). Se resuelve, se evalúa \(f\) en cada solución y se comparan los valores; el mayor es el máximo y el menor el mínimo. Si la restricción es una curva cerrada y acotada, ambos existen.

Ejemplo guía: maximizar \(xy\) con \(x+y=10\). Las ecuaciones \(y=\lambda\), \(x=\lambda\) dan \(x=y\), y con la restricción \(x=y=5\), \(f=25\). El método no decide por sí mismo si cada solución es máximo o mínimo: hay que comparar los valores de \(f\).

La idea geométrica es que sobre la curva \(g=k\) un extremo ocurre donde la curva de nivel de \(f\) la toca sin cruzarla; ahí ambas son tangentes y, como cada gradiente es perpendicular a su curva de nivel, \(\nabla f\) y \(\nabla g\) son paralelos. Si no lo fueran, podrías moverte a lo largo de la curva y aumentar o disminuir \(f\).

El método exige \(\nabla g\ne\mathbf 0\) en los puntos de la restricción; los puntos donde \(\nabla g=\mathbf 0\) deben revisarse aparte. Con dos restricciones se usan dos multiplicadores, \(\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h\). El valor de \(\lambda\) mide cuánto cambia el óptimo si se relaja \(k\) un poco.