Longitud de arco

La idea es aproximar la curva por una poligonal: se divide \([a,b]\) en pequeños pasos \(\Delta t\), cada tramo mide aproximadamente \(|\mathbf r'(t)|\,\Delta t\) (velocidad por tiempo), y al sumar y pasar al límite aparece la integral de la rapidez \(|\mathbf r'(t)|\). En el plano, con \(\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle\), la integral se escribe \(\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt\), y en el espacio se añade \(z'(t)^2\) bajo la raíz.

Por ejemplo, para el círculo \(\langle R\cos t,R\sin t\rangle\) la rapidez es constante, \(|\mathbf r'|=R\), y la longitud en \([0,2\pi]\) es \(2\pi R\), el perímetro conocido. La hélice \(\langle\cos t,\sin t,t\rangle\) tiene rapidez \(\sqrt2\), de modo que una vuelta mide \(2\sqrt2\,\pi\), más que el círculo base porque la curva también asciende. Cuando la rapidez no es constante la integral puede no tener primitiva elemental, y entonces se calcula de forma numérica.

La longitud depende de la curva y de cuántas veces se recorre, no de la rapidez con que se recorre: \(\langle\cos2t,\sin2t\rangle\) en \([0,\pi]\) tiene la misma longitud \(2\pi\) que \(\langle\cos t,\sin t\rangle\) en \([0,2\pi]\). Para que sea así hay que tener cuidado con los tramos repetidos: si la curva pasa dos veces por el mismo arco, esa porción cuenta dos veces.

La función de longitud de arco \(s(t)=\int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du\) mide lo recorrido desde el inicio hasta el instante \(t\). Reparametrizar por \(s\) da una curva de rapidez 1, útil más adelante para definir la curvatura sin que dependa de la parametrización.