Optimización · Definición

Criterio de la segunda derivada

cálculo multivariableoptimización

Antes de empezar necesitas conocer

Resuelve el problema que deja el punto crítico: saber si ahí hay un valle, una cima o una silla sin graficar la función.

Definición

El criterio de la segunda derivada clasifica un punto crítico de \(f\) como mínimo, máximo o silla según el signo del discriminante \(D\) y de \(f_{xx}\) en ese punto.

\[D=f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}\]

El procedimiento es: se resuelve \(f_x=0\), \(f_y=0\) para hallar los puntos críticos y en cada uno se calcula \(D\), que es el determinante de la matriz hessiana. Si \(D>0\) y \(f_{xx}>0\), hay un mínimo local; si \(D>0\) y \(f_{xx}<0\), un máximo local; si \(D<0\), un punto silla.

Ejemplo guía: para \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) los puntos críticos son \((0,0)\) y \((1,1)\). En el origen \(D=-9<0\), una silla; en \((1,1)\), \(D=27>0\) y \(f_{xx}=6>0\), un mínimo local. La condición \(D>0\) obliga a que \(f_{xx}\) y \(f_{yy}\) tengan el mismo signo, por eso basta mirar uno de ellos.

Cuando \(D=0\) el criterio no dice nada: \(x^4+y^4\) tiene un mínimo en el origen, \(-x^4-y^4\) un máximo y \(x^4-y^4\) una silla, y las tres tienen \(D=0\). Hay que estudiar la función directamente, por ejemplo restringiéndola a rectas o curvas que pasen por el punto.

La justificación geométrica viene del polinomio de Taylor de segundo orden: cerca de un punto crítico \(f\) se parece a su parte cuadrática, y \(D\) detecta si esa forma cuadrática es definida (mismo signo en todas las direcciones) o indefinida. Recuerda que el criterio es solo local: no dice nada de los extremos absolutos.

Para pensar

¿Qué conclusión sacas si \(D>0\) y \(f_{xx}=0\) en un punto crítico?

Ninguna: ese caso es imposible. \(D=-f_{xy}^2\le0\) cuando \(f_{xx}=0\), así que \(D>0\) exige \(f_{xx}\ne0\).

¿Por qué un punto silla no es ni máximo ni mínimo local?

Porque en algunas direcciones \(f\) sube al alejarse del punto y en otras baja, así que ningún entorno del punto tiene a \(f\) con su valor mínimo o máximo.

Ejercicios 10

  1. La función \(f(x,y)=x^{2} + y^{2}\) tiene un punto crítico en \((0,0)\). ¿Qué indica el criterio de la segunda derivada?
  2. La función \(f(x,y)=x^{2} - y^{2}\) tiene un punto crítico en \((0,0)\). ¿Qué indica el criterio de la segunda derivada?
  3. La función \(f(x,y)=- x^{2} + 4 x - y^{2}\) tiene un punto crítico en \((2,0)\). ¿Qué indica el criterio de la segunda derivada?
  4. La función \(f(x,y)=x^3-3x+y^2\) tiene puntos críticos en \((1,0)\) y \((-1,0)\). ¿Qué indica el criterio en \((-1,0)\)?
  5. La función \(f(x,y)=x^4+y^4\) tiene un punto crítico en \((0,0)\). ¿Qué indica el criterio de la segunda derivada?
  6. Para \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\), calcula \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\) en el punto crítico \((0,0)\).
  7. La función \(f(x,y)=x^{2} + 3 x y + y^{2}\) tiene un punto crítico en \((0,0)\). ¿Qué indica el criterio de la segunda derivada?
  8. Para \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\), el punto \((1,1)\) es crítico. ¿Qué indica el criterio en ese punto?
  9. En un punto crítico de \(f\) se obtiene \(D>0\) y \(f_{xx}<0\). ¿Qué es ese punto?
  10. En un punto crítico, \(D>0\) y \(f_{xx}>0\). ¿Qué se concluye necesariamente sobre \(f_{yy}\)?

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §14.7
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §14.7
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §3.3