Rotacional

Se calcula como el producto cruz formal \(\nabla\times\mathbf F\), el determinante con \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\) en la primera fila, \(\partial_x,\partial_y,\partial_z\) en la segunda y \(P,Q,R\) en la tercera. Cada componente es una diferencia de derivadas cruzadas, por ejemplo la de \(\mathbf k\) es \(Q_x-P_y\); en el plano, donde \(R=0\) y nada depende de \(z\), solo queda esa componente.

Geométricamente, si \(\mathbf F\) es la velocidad de un fluido, una pequeña rueda de paletas colocada en \(P\) gira más rápido cuando su eje apunta en la dirección de \(\operatorname{rot}\mathbf F(P)\), con sentido dado por la regla de la mano derecha, y la longitud del rotacional es el doble de la velocidad angular local. Ejemplo guía: \(\langle -y,x,0\rangle\) tiene rotacional \(\langle 0,0,2\rangle\) en todas partes, y un cuerpo rígido que gira con velocidad angular \(\boldsymbol\omega\) tiene rotacional \(2\boldsymbol\omega\).

Las dos identidades básicas son \(\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0\) y \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0\), ambas por la igualdad de las derivadas mixtas. La primera da una prueba práctica: si el rotacional de un campo de clase \(C^1\) en todo \(\mathbb R^3\) no es cero, el campo no es conservativo. Error típico: concluir lo contrario en regiones con huecos, donde el rotacional nulo no basta.

Por eso el rotacional conecta con lo anterior (campo conservativo e integral de línea) y con lo que sigue: el teorema de Stokes, \(\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\operatorname{rot}\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS\), tiene como caso plano al teorema de Green.