Integral doble en una región general

Una región de tipo I está entre dos gráficas \(y=g_1(x)\) y \(y=g_2(x)\) con \(a\le x\le b\); una de tipo II está entre \(x=h_1(y)\) y \(x=h_2(y)\) con \(c\le y\le d\), y se integra \(\int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy\). La idea es la misma que en el rectángulo: para cada valor de la variable exterior, la interior recorre un segmento de la región, y los extremos de ese segmento son los límites interiores.

Regla práctica: los límites exteriores son números, los interiores pueden depender de la variable exterior, y el resultado final es un número. Para hallarlos se dibuja la región, se traza un segmento típico en la dirección de integración interior y se lee dónde entra y dónde sale. Ejemplo guía: el área entre \(y=x^2\) y \(y=2x\) es \(\int_0^2\!\int_{x^2}^{2x}dy\,dx=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\tfrac43\).

Si la región es de ambos tipos se puede elegir el orden, y cambiarlo a veces transforma una integral imposible en una fácil: \(\int_0^1\!\int_x^1e^{y^2}\,dy\,dx\) no tiene primitiva elemental en \(y\), pero al describir la región como \(0\le x\le y\le1\) se vuelve \(\int_0^1ye^{y^2}\,dy=\tfrac{e-1}{2}\). Con \(f=1\) se obtiene el área de \(D\).

Errores típicos: poner límites variables en la integral exterior, no dibujar la región y confundir cuál curva es la superior, y al cambiar el orden olvidar reescribir los límites: no basta con intercambiar \(dx\) y \(dy\).