Plano tangente

La fórmula sale de pedir que el plano \(z=f(a,b)+m(x-a)+n(y-b)\) pase por el punto de tangencia y que sus cortes con \(y=b\) y con \(x=a\) sean las rectas tangentes de esas curvas. Eso obliga a \(m=f_x(a,b)\) y \(n=f_y(a,b)\). Por ejemplo, para \(z=x^2+y^2\) en \((1,2)\) se tiene \(f_x=2\), \(f_y=4\) y el plano es \(z=5+2(x-1)+4(y-2)=2x+4y-5\).

De la ecuación se lee el vector normal: escribiéndola como \(f_x\,x+f_y\,y-z=\text{constante}\), la normal es \(\langle f_x,f_y,-1\rangle\), con el signo menos en la tercera componente. El plano es horizontal exactamente donde \(f_x=f_y=0\), los candidatos a máximos, mínimos y puntos silla.

El uso más inmediato es la linealización \(L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\), que aproxima a \(f\) cerca de \((a,b)\): con \(f=\sqrt{x^2+y^2}\) en \((3,4)\), da \(f(3.03,3.96)\approx4.986\), frente al valor exacto \(4.9862\ldots\). El error crece al alejarse del punto de tangencia, y la aproximación es buena solo si \(f\) es diferenciable allí.

Existir las parciales no basta para que el plano sea una buena aproximación: ese requisito se formula con el concepto de diferenciabilidad, que viene a continuación y que justifica llamar «tangente» a este plano.