Derivación en varias variables · Definición
Derivada direccional
Antes de empezar necesitas conocer
Las parciales miden el cambio solo a lo largo de los ejes; la derivada direccional mide la pendiente del terreno al caminar en cualquier rumbo.
Definición
La derivada direccional \(D_{\mathbf{u}}f\) de \(f\) en un punto \(\mathbf{x}_0\), según un vector unitario \(\mathbf{u}\), es el cambio de \(f\) al moverse desde \(\mathbf{x}_0\) en la dirección de \(\mathbf{u}\).
Si \(f\) es diferenciable, la derivada direccional se calcula sin límites: \(D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}\). Las parciales son el caso particular \(\mathbf{u}=\mathbf{i}\) o \(\mathbf{u}=\mathbf{j}\), de modo que \(D_{\mathbf{i}}f=f_x\) y \(D_{\mathbf{j}}f=f_y\). La misma fórmula vale con tres o más variables.
El vector \(\mathbf{u}\) debe ser unitario: la definición mide el cambio por unidad de longitud recorrida. Si el rumbo viene dado por un vector \(\mathbf{v}\) cualquiera, primero se normaliza, \(\mathbf{u}=\mathbf{v}/|\mathbf{v}|\). Para \(f=x^2y\) en \((1,2)\) con \(\mathbf{v}=\langle3,4\rangle\), \(\nabla f=\langle4,1\rangle\) y \(D_{\mathbf{u}}f=\tfrac{12+4}{5}=\tfrac{16}{5}\).
Escribiendo \(D_{\mathbf{u}}f=|\nabla f|\cos\theta\), con \(\theta\) el ángulo entre \(\mathbf{u}\) y el gradiente, se leen tres casos: el valor máximo \(|\nabla f|\) se alcanza avanzando como el gradiente, el mínimo \(-|\nabla f|\) en sentido contrario, y el cero en las direcciones perpendiculares, que son las tangentes a la curva de nivel.
Un error frecuente es olvidar normalizar \(\mathbf{v}\), lo que multiplica el resultado por \(|\mathbf{v}|\). Otro es pensar que la existencia de todas las derivadas direccionales basta para la diferenciabilidad: puede haber derivadas en todos los rumbos y que la función ni siquiera sea continua; la fórmula \(\nabla f\cdot\mathbf{u}\) exige diferenciabilidad.
Para pensar
En un punto, \(f\) crece a razón \(3\) hacia el este y a razón \(4\) hacia el norte. ¿A qué razón crece hacia el noreste?
El gradiente es \(\langle3,4\rangle\) y el noreste es \(\mathbf{u}=\langle1,1\rangle/\sqrt2\). Entonces \(D_{\mathbf{u}}f=\tfrac{3+4}{\sqrt2}=\tfrac{7}{\sqrt2}\approx4.95\), menos que el máximo \(|\nabla f|=5\).
Ejercicios 10
- Calcula \(D_{\mathbf{u}}f(1,2)\) para \(f(x,y)=x^2y\) y \(\mathbf{u}=\langle\tfrac35,\tfrac45\rangle\).
- Calcula \(D_{\mathbf{u}}f(2,3)\) para \(f(x,y)=xy\) y \(\mathbf{u}=\mathbf{i}=\langle1,0\rangle\).
- Calcula \(D_{\mathbf{u}}f(1,1)\) para \(f(x,y)=x^2+y^2\) y \(\mathbf{u}=\langle\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\rangle\).
- Calcula la derivada de \(f(x,y)=e^{xy}\) en \((0,1)\) en la dirección del vector \(\mathbf{v}=\langle3,4\rangle\).
- Un punto en \((1,1)\) se mueve hacia \((4,5)\). Calcula la razón de cambio de \(f(x,y)=x^2y+y\) en esa dirección.
- ¿Cuál es la máxima razón de cambio de \(f(x,y)=x^2+3y^2\) en \((1,1)\)?
- Para \(f(x,y)=x^2+y^2\) en \((1,2)\), ¿en qué dirección unitaria \(\mathbf{u}\) la derivada direccional vale \(0\)?
- Calcula \(D_{\mathbf{u}}f(1,2,3)\) para \(f(x,y,z)=xyz\) y \(\mathbf{u}=\langle\tfrac23,\tfrac13,\tfrac23\rangle\).
- Si \(|\nabla f(p)|=5\) y para un vector unitario \(\mathbf{u}\) se tiene \(D_{\mathbf{u}}f(p)=5\), ¿qué se concluye de \(\mathbf{u}\)?
- Una función diferenciable cumple \(D_{\mathbf{i}}f(p)=2\) y \(D_{\mathbf{j}}f(p)=-1\). Calcula \(D_{\mathbf{u}}f(p)\) con \(\mathbf{u}=\langle\tfrac35,\tfrac45\rangle\).
Referencias
- James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §14.6
- Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §14.5
- Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §2.6