Rectas y planos en el espacio

Una recta se describe como un movimiento: parte de \(\mathbf r_0\) y avanza en la dirección \(\mathbf d\) al ritmo del parámetro \(t\). Separando coordenadas se obtienen las ecuaciones paramétricas \(x=x_0+td_1\), \(y=y_0+td_2\), \(z=z_0+td_3\). Dos puntos \(P\) y \(Q\) bastan: el vector director es \(Q-P\). Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, cortarse o ser alabeadas, es decir, no paralelas y sin punto común, algo imposible en el plano.

Un plano se describe como una condición: sus puntos son los que cumplen que \(\mathbf r-\mathbf r_0\) es perpendicular a \(\mathbf n\). Con \(\mathbf n=\langle a,b,c\rangle\) se desarrolla a la forma \(ax+by+cz=d\); por ejemplo, el plano por \((1,2,3)\) con normal \(\langle2,-1,4\rangle\) es \(2x-y+4z=12\). Los coeficientes de las variables son, entonces, las componentes de la normal.

Cuando el dato son tres puntos o dos direcciones, la normal se obtiene con el producto cruz de dos vectores del plano. Dos planos son paralelos si sus normales son proporcionales; si no, se cortan en una recta cuya dirección es el producto cruz de las normales. Una recta y un plano son perpendiculares cuando el vector director es proporcional a la normal.

Para hallar dónde una recta corta a un plano se sustituyen sus ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano y se resuelve para \(t\). Esta pareja de objetos reaparece en cuanto derivemos: el plano tangente a una superficie y la recta tangente a una curva son su mejor aproximación lineal.