Extremos absolutos en una región

El teorema del valor extremo asegura que, si \(f\) es continua en un conjunto cerrado y acotado \(D\), existen un mínimo y un máximo absolutos. El procedimiento tiene tres pasos: hallar los puntos críticos de \(f\) en el interior de \(D\); hallar los candidatos en la frontera de \(D\); y evaluar \(f\) en todos ellos. El mayor valor es \(M\) y el menor es \(m\).

La frontera se estudia como un problema de una variable: se parametriza cada lado o curva (\(y=2-x\), \(x=\cos t,\ y=\sin t\), etc.), se sustituye en \(f\) y se buscan los extremos de la función resultante en el intervalo, sin olvidar las esquinas. Si la frontera viene dada por una ecuación \(g=k\), los multiplicadores de Lagrange hacen el mismo trabajo.

Ejemplo guía: \(f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+7\) en \([0,3]\times[0,3]\). El punto crítico \((1,2)\) da \(f=2\); en las esquinas \(f\) vale \(7,10,4,7\). Por tanto \(m=2\) y \(M=10\). Aquí el mínimo está en el interior y el máximo en la frontera, algo muy común.

Errores típicos: olvidar la frontera, creer que un punto crítico es un extremo (una silla no lo es) o aplicar el método a una región abierta o no acotada, donde el máximo o el mínimo pueden no existir. No hace falta clasificar los puntos críticos con la matriz hessiana: basta comparar valores.