Producto cruz

A diferencia del producto punto, que devuelve un número, el producto cruz devuelve un vector y solo existe en \(\mathbb R^3\). Su longitud es \(|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta\), con \(\theta\) el ángulo entre los vectores; por eso vale cero exactamente cuando \(\mathbf u\) y \(\mathbf v\) son paralelos y es máxima cuando son perpendiculares. El área de un triángulo con lados \(\mathbf u\) y \(\mathbf v\) es la mitad de esa longitud.

El determinante de la fórmula es simbólico: se desarrolla por la primera fila, con los vectores \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\) como entradas. Por ejemplo, \(\langle1,2,3\rangle\times\langle4,5,6\rangle=\langle-3,6,-3\rangle\). El signo menos del término central es el error más frecuente al calcularlo.

El orden importa: \(\mathbf v\times\mathbf u=-(\mathbf u\times\mathbf v)\), así que el producto es anticonmutativo y, en particular, \(\mathbf u\times\mathbf u=\mathbf 0\). Es distributivo respecto de la suma y saca escalares, pero no es asociativo: \(\mathbf i\times(\mathbf i\times\mathbf j)=-\mathbf j\), mientras que \((\mathbf i\times\mathbf i)\times\mathbf j=\mathbf 0\).

Su uso principal será dar la normal de un plano a partir de dos direcciones contenidas en él, y más adelante el vector normal de una superficie paramétrica, que es la pieza que hace falta para integrar sobre superficies.