Teorema de Stokes

La orientación se acopla por la regla de la mano derecha: si el pulgar apunta en la dirección de la normal de \(S\), los dedos curvados dan el sentido de recorrido de \(C\). Se pide \(S\) suave a trozos y \(\mathbf F\) con derivadas parciales continuas en un abierto que contenga a \(S\). Si se invierte la normal, el flujo cambia de signo, igual que la circulación al invertir \(C\).

Una consecuencia práctica es que el flujo del rotacional depende solo del borde: dos superficies con la misma curva \(C\) dan el mismo valor, así que puede usarse un disco plano en lugar de un hemisferio. Ejemplo guía: para \(\langle -y,x,z\rangle\) sobre una circunferencia horizontal de radio \(a\), el rotacional es \(\langle0,0,2\rangle\) y la circulación es \(2\pi a^2\), sin importar la altura de la circunferencia.

Cuando \(S\) está en el plano \(xy\) con normal \(\mathbf k\), el integrando se reduce a \(Q_x-P_y\) y se recupera el teorema de Green. Si \(\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0\) en una región sin huecos, la circulación sobre toda curva cerrada es nula y \(\mathbf F\) es conservativo. Errores típicos: olvidar que \(S\) y \(C\) deben tener orientaciones compatibles, o usar una superficie que no tenga a \(C\) como borde.

Stokes completa el cuadro con la divergencia: el teorema de Stokes liga una curva con una superficie, y el de la divergencia, que sigue, liga una superficie cerrada con el sólido que encierra.