Teorema de Green

Las hipótesis importan: \(C\) debe ser cerrada, simple y suave a trozos, recorrida con la región \(D\) siempre a la izquierda (sentido antihorario), y \(P\), \(Q\) deben tener derivadas parciales continuas en un abierto que contenga a \(D\). Si se recorre \(C\) al revés, el resultado cambia de signo. Si \(D\) tiene huecos, el borde completo incluye las curvas interiores recorridas en sentido horario.

El integrando \(Q_x-P_y\) es la componente \(\mathbf k\) del rotacional de \(\langle P,Q,0\rangle\): la circulación total en el borde es la suma de las pequeñas circulaciones locales dentro de \(D\), porque las contribuciones de los lados interiores comunes se cancelan por pares. Un ejemplo guía es \(\langle -y,x\rangle\), con \(Q_x-P_y=2\): su circulación sobre cualquier curva simple antihoraria es el doble del área encerrada.

De ahí salen fórmulas de área, como \(A=\oint_C x\,dy=-\oint_C y\,dx=\tfrac12\oint_C x\,dy-y\,dx\), y una forma rápida de calcular integrales de línea difíciles: si \(Q_x-P_y\) es simple, se integra sobre la región. Error típico: olvidar la orientación, o aplicar el teorema a una curva abierta, para la cual no vale.

Si \(Q_x=P_y\) en una región sin huecos, la circulación sobre cualquier curva cerrada es cero, que es la razón de fondo de que un campo con rotacional nulo sea conservativo allí. El teorema generaliza en dos direcciones: el teorema de Stokes, a superficies en el espacio, y el de la divergencia, al flujo a través de un borde.