Coordenadas cilíndricas y esféricas

En cilíndricas, \(r\) es la distancia al eje \(z\), \(\theta\) el ángulo de la proyección en el plano \(xy\) y \(z\) la altura, de modo que \(r^2=x^2+y^2\) y \(\tan\theta=y/x\). Son las polares con una altura añadida: \(r=c\) es un cilindro, \(\theta=c\) un semiplano y \(z=c\) un plano horizontal. En esféricas, \(\rho\) es la distancia al origen y \(\varphi\in[0,\pi]\) el ángulo con el eje \(z\) positivo; entonces \(\rho=c\) es una esfera, \(\varphi=c\) un cono y \(\theta=c\) el mismo semiplano. Además, \(\rho^2=x^2+y^2+z^2\) y \(r=\rho\sin\varphi\).

Al integrar, cada sistema aporta su factor de volumen: \(dV=r\,dz\,dr\,d\theta\) en cilíndricas y \(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\) en esféricas. El factor es el volumen de la pequeña celda curva: en esféricas, sus lados miden \(d\rho\), \(\rho\,d\varphi\) y \(\rho\sin\varphi\,d\theta\). La integral queda \(\iiint_E f\,dV=\iiint f(\ldots)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\), con \(f\) reescrita en las nuevas variables.

Ejemplo guía: el volumen de la bola de radio \(a\) es \(\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi\!\int_0^a\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=\tfrac43\pi a^3\). Regla práctica: usa cilíndricas si el sólido gira alrededor del eje \(z\) (cilindros, paraboloides \(z=r^2\)), y esféricas si hay esferas o conos centrados en el origen.

Errores típicos: olvidar el factor \(r\) o \(\rho^2\sin\varphi\), intercambiar \(\theta\) y \(\varphi\) (en otros libros los nombres van al revés, así que conviene fijar la convención), y dar a \(\varphi\) un recorrido de \(0\) a \(2\pi\) en lugar de \(0\) a \(\pi\).