Integrales de línea y de superficie · Definición

Superficie paramétrica

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Antes de empezar necesitas conocer

Una curva se describe con un parámetro; una superficie necesita dos. Esta representación es la base para medir áreas e integrar sobre superficies.

Definición

Una superficie paramétrica es el conjunto de puntos del espacio que describe una función vectorial \(\mathbf r\) de dos parámetros \(u\) y \(v\) cuando estos recorren una región \(D\) del plano.

\[\mathbf r(u,v)=\langle x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\rangle,\quad (u,v)\in D\]

Fijar \(v=v_0\) y dejar variar \(u\) traza una curva sobre la superficie; fijar \(u=u_0\) traza otra. Estas curvas coordenadas forman una malla, y sus vectores tangentes son las derivadas parciales \(\mathbf r_u\) y \(\mathbf r_v\). Es la misma idea de la curva paramétrica, pero con un parámetro más.

Si \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\ne\mathbf 0\), ese producto cruz es un vector normal a la superficie y el plano tangente en \(\mathbf r(u_0,v_0)\) es el que pasa por ese punto con esa normal. Cuando \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v=\mathbf 0\) la parametrización es singular: en el vértice del cono \(\langle v\cos u,\,v\sin u,\,v\rangle\) ocurre en \(v=0\). Además, \(\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\) es el área del paralelogramo que forman los vectores tangentes, dato clave para el área de la superficie.

Parametrizaciones habituales: la gráfica \(z=f(x,y)\) es \(\langle x,\,y,\,f(x,y)\rangle\), con normal \(\langle -f_x,\,-f_y,\,1\rangle\); el cilindro de radio \(a\) es \(\langle a\cos u,\,a\sin u,\,v\rangle\); la esfera de radio \(a\) es \(\langle a\sin\varphi\cos\theta,\,a\sin\varphi\sin\theta,\,a\cos\varphi\rangle\) con \(0\le\varphi\le\pi\) y \(0\le\theta\le2\pi\).

Error típico: pensar que la parametrización es única. Una misma superficie admite muchas, y lo que importa es el conjunto de puntos, no la fórmula. Otro error es olvidar el dominio \(D\): sin él, \(\langle\cos u,\sin u,v\rangle\) es un cilindro infinito, no una lata. Este concepto usa la curva paramétrica y el producto cruz, y prepara la integral de superficie.

Para pensar

Parametriza el plano \(z=4-x-y\) y da un vector normal.

\(\mathbf r(x,y)=\langle x,\,y,\,4-x-y\rangle\); \(\mathbf r_x\times\mathbf r_y=\langle1,1,1\rangle\).

¿Qué superficie describe \(\langle 3\cos u,\,3\sin u,\,v\rangle\) con \(0\le v\le5\)?

Un cilindro de radio \(3\) y altura \(5\), sin tapas.

Ejercicios 10

  1. La superficie \(\mathbf r(u,v)=\langle u,\,v,\,u^2+v^2\rangle\) es:
  2. Para \(\mathbf r(u,v)=\langle u^2v,\,u+v,\,v^3\rangle\), el vector \(\mathbf r_u\) en \((u,v)=(1,2)\) es:
  3. Para la misma superficie \(\mathbf r(u,v)=\langle u^2v,\,u+v,\,v^3\rangle\), el vector \(\mathbf r_v\) en \((1,2)\) es:
  4. Un vector normal a \(\mathbf r(u,v)=\langle u,\,v,\,u^2+v^2\rangle\) en \((u,v)=(1,1)\) es:
  5. Para el cilindro \(\mathbf r(u,v)=\langle\cos u,\,\sin u,\,v\rangle\), el vector \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) es:
  6. El plano tangente a \(\mathbf r(u,v)=\langle u,\,v,\,u^2+v^2\rangle\) en el punto \((1,1,2)\) es:
  7. Una parametrización de la esfera de radio \(2\) con centro en el origen es:
  8. Para la gráfica \(z=x^2-y^2\), parametrizada por \(\mathbf r(x,y)=\langle x,\,y,\,x^2-y^2\rangle\), la longitud de \(\mathbf r_x\times\mathbf r_y\) en \((1,2)\) es:
  9. Una parametrización del cono \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) es:
  10. En el cono \(\mathbf r(u,v)=\langle v\cos u,\,v\sin u,\,v\rangle\), ¿en qué valor de \(v\) se anula \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\)?

Después de esto

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §16.6
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §16.5
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §7.3