Integrales múltiples · Definición

Integral doble

cálculo multivariableintegrales múltiples

Antes de empezar necesitas conocer

Es el análogo en el plano de la integral definida: acumula una cantidad repartida sobre una región, como un volumen, una masa o un promedio.

Definición

La integral doble de una función \(f\) sobre una región \(D\) del plano es el límite de las sumas de los valores de \(f\) por el área \(\Delta A\) de celdas cada vez más finas que cubren \(D\).

\[\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i\]

Si \(f\ge0\), la integral doble es el volumen del sólido que está bajo la gráfica de \(z=f(x,y)\) y sobre \(D\). Se aproxima partiendo \(D\) en celdas de área \(\Delta A_i\), eligiendo un punto muestra \((x_i^*,y_i^*)\) en cada una y sumando prismas de volumen \(f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i\). Si \(f\) es continua, el límite existe y no depende de la elección de los puntos.

Donde \(f\) es negativa, el volumen cuenta con signo negativo. Con \(f=1\) la integral es el área de \(D\), y dividiendo entre ese área se obtiene el valor promedio de \(f\) en \(D\). La integral es lineal, \(\iint_D(af+bg)\,dA=a\iint_D f\,dA+b\iint_D g\,dA\); es aditiva, \(\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}\) si \(D_1\) y \(D_2\) no se traslapan; y conserva el orden: si \(f\le g\), entonces \(\iint_D f\,dA\le\iint_D g\,dA\).

Ejemplo guía: para \(f(x,y)=x+y\) en \([0,2]\times[0,2]\), la suma con puntos en el centro de cuatro cuadrados da \(8\), que es el valor exacto. Las sumas con esquinas dan \(4\) o \(12\), una cota inferior y otra superior que se acercan a \(8\) al afinar la partición. Calcular el límite con la definición es impráctico; el teorema de Fubini lo reduce a dos integrales de una variable.

Errores típicos: olvidar el elemento de área \(dA\), confundir la integral doble con el producto de dos integrales simples (solo vale para funciones de la forma \(g(x)h(y)\) en un rectángulo) o creer que la integral es siempre positiva.

Para pensar

¿Qué representa \(\iint_D 1\,dA\)?

El área de la región \(D\): cada término de la suma es \(1\cdot\Delta A_i\), y su suma total es el área.

Si \(f\) toma valores positivos y negativos en \(D\), ¿puede ser cero la integral aunque \(f\) no sea cero?

Sí. Por ejemplo, \(\iint_D x\,dA=0\) en el disco unitario: los volúmenes sobre \(x>0\) y bajo \(x<0\) se cancelan por simetría.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(\iint_R 5\,dA\) sobre el rectángulo \(R=[1,4]\times[0,2]\).
  2. Halla el volumen del sólido bajo el plano \(z=4\) y sobre el disco \(D\) de radio \(2\) centrado en el origen, es decir, \(\iint_D 4\,dA\).
  3. Divide \(R=[0,2]\times[0,2]\) en cuatro cuadrados de lado \(1\) y calcula la suma de Riemann de \(f(x,y)=x+y\) tomando el vértice superior derecho de cada cuadrado.
  4. Con la misma partición de \(R=[0,2]\times[0,2]\) en cuatro cuadrados, calcula la suma de Riemann de \(f(x,y)=x+y\) tomando el centro de cada cuadrado.
  5. Si \(\iint_D f\,dA=3\) y \(\iint_D g\,dA=5\), ¿cuánto vale \(\iint_D (2f-g)\,dA\)?
  6. La región \(D\) es unión de dos regiones \(D_1\) y \(D_2\) que no se traslapan. Si \(\iint_{D_1} f\,dA=7\) y \(\iint_D f\,dA=10\), ¿cuánto vale \(\iint_{D_2} f\,dA\)?
  7. Sobre una región \(D\) de área \(6\) se sabe que \(\iint_D f\,dA=24\). ¿Cuál es el valor promedio de \(f\) en \(D\)?
  8. Calcula \(\iint_D x\,dA\) sobre el disco unitario \(D:\ x^2+y^2\le1\).
  9. Si \(1\le f(x,y)\le3\) en una región \(D\) de área \(5\), ¿qué desigualdad es cierta para \(\iint_D f\,dA\)?
  10. Interpreta \(\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}\,dA\), con \(D:\ x^2+y^2\le1\), como un volumen y calcúlalo.

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §15.1–15.2
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §15.1
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §5.1