Integrales de línea y de superficie · Definición

Integral de superficie

cálculo multivariablecálculo vectorial

Antes de empezar necesitas conocer

Es el análogo de la integral de línea escalar para superficies: sirve para calcular áreas, masas de láminas curvas y promedios sobre una superficie.

Definición

La integral de superficie de una función \(f\) sobre una superficie \(S\), parametrizada por \(\mathbf r\) sobre una región \(D\), suma los valores de \(f\) ponderados por el área de cada pedazo de \(S\).

\[\iint_S f\,dS=\iint_D f(\mathbf r(u,v))\,\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\,du\,dv\]

El factor \(\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\) convierte el área \(dA\) del dominio de parámetros en el área real \(dS\) del pedazo de superficie: un rectángulo \(du\times dv\) se transforma en un paralelogramo de lados \(\mathbf r_u\,du\) y \(\mathbf r_v\,dv\), cuya área es esa norma por \(dA\). Con \(f=1\) se obtiene el área de la superficie, \(\iint_D\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\rVert\,dA\).

Para una gráfica \(z=g(x,y)\) la fórmula se reduce a \(dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA\). En el plano \(xy\) vale \(1\) y se recupera la integral doble. Para el cilindro de radio \(a\) es \(a\,du\,dv\), y para la esfera de radio \(a\), \(a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\); de la última sale el área \(4\pi a^2\).

El resultado no depende de la parametrización elegida, solo de la superficie y de \(f\). Si \(f\) es una densidad, la integral es la masa de la lámina; dividida entre el área, da el valor promedio de \(f\) sobre \(S\). En la práctica se escoge la parametrización que haga más sencilla la norma del producto cruz: polares para paraboloides y conos, esféricas para esferas.

Error típico: olvidar la norma y escribir solo \(f\,dA\), lo que mide la proyección y no la superficie. Otro es evaluar \(f(x,y,z)\) sin sustituir \(x,y,z\) por las componentes de \(\mathbf r\). Este concepto usa la superficie paramétrica y la integral doble, y es la integral de superficie escalar; con la normal aparecerá después el flujo.

Para pensar

Calcula el área de la parte del plano \(z=2x+y\) sobre el cuadrado \(0\le x,y\le1\).

\(dS=\sqrt{1+4+1}\,dA=\sqrt6\,dA\), luego el área es \(\sqrt6\).

¿Por qué el área de una esfera de radio \(a\) crece como \(a^2\) y no como \(a\)?

Porque \(\lVert\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta\rVert=a^2\sin\varphi\): cada dirección tangente se escala por \(a\).

Ejercicios 10

  1. Para \(\mathbf r(u,v)=\langle u,\,v,\,u+v\rangle\) con \(0\le u,v\le1\), el área de la superficie es:
  2. Para \(\mathbf r(u,v)=\langle u,\,v,\,u^2+v^2\rangle\), el elemento de área \(dS\) es:
  3. El área del cilindro \(x^2+y^2=1\), \(0\le z\le3\) (sin tapas) es:
  4. Sea \(S\) el cilindro \(x^2+y^2=1\), \(0\le z\le3\). El valor de \(\iint_S z\,dS\) es:
  5. Sea \(S\) la esfera unitaria. Con \(dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\), el valor de \(\iint_S z^2\,dS\) es:
  6. El área de una esfera de radio \(3\) es:
  7. Si \(S\) es una región plana de \(D\) en el plano \(xy\) (parametrizada por \(\mathbf r(x,y)=\langle x,y,0\rangle\)), entonces \(\iint_S f\,dS\) es igual a:
  8. El área de la parte del plano \(z=x+2y\) sobre el cuadrado \(0\le x,y\le1\) es:
  9. El área de la parte del paraboloide \(z=x^2+y^2\) con \(z\le1\) es:
  10. Sea \(S\) el cilindro \(x^2+y^2=1\), \(0\le z\le3\). El valor de \(\iint_S z^2\,dS\) es:

Referencias

  • James Stewart, Daniel K. Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9th edition, Cengage, 2021. §16.7
  • Joel Hass, Christopher Heil, Przemyslaw Bogacki, Maurice D. Weir, George B. Thomas Jr., Thomas' Calculus, 15th edition, Pearson, 2023. §16.6
  • Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba, Vector Calculus, 6th edition, W. H. Freeman, 2012. §7.4