Integral de línea de un campo vectorial

Para una fuerza constante el trabajo es \(\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r\). Si la fuerza cambia y la trayectoria se curva, se divide \(C\) en tramos diminutos \(d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt\) y se suman los trabajos \(\mathbf F\cdot d\mathbf r\) de cada uno; ese límite es la integral. Solo cuenta la componente de \(\mathbf F\) a lo largo del movimiento, por eso también se escribe \(\int_C \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds\), con \(\mathbf T\) el vector tangente unitario. Cuando \(C\) es cerrada se llama circulación de \(\mathbf F\) alrededor de \(C\).

Para calcularla se parametriza \(C\), se sustituye en \(\mathbf F\), se hace el producto punto con \(\mathbf r'(t)\) y se integra en \(t\). Por ejemplo, con \(\mathbf F=\langle -y,x\rangle\) sobre la circunferencia unitaria \(\mathbf r=\langle\cos t,\sin t\rangle\), el integrando es \(\sin^2t+\cos^2t=1\) y la circulación vale \(2\pi\). En \(\mathbb R^3\) el procedimiento es idéntico con tres componentes; si \(C\) tiene varios tramos, se suman.

A diferencia de la integral de línea escalar, aquí sí importa la orientación: recorrer \(C\) en sentido contrario cambia el signo de \(\mathbf r'\) y, con él, el de la integral, de modo que \(\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=-\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r\). En cambio, reparametrizar sin invertir el sentido (recorrer más rápido o más lento) no altera el resultado, porque el valor depende de la curva y no de la rapidez.

Error típico: integrar \(\|\mathbf F\|\) o \(\mathbf F\) sin hacer el producto punto con \(\mathbf r'\), o ignorar la orientación al comparar dos recorridos. Esta integral usa el campo vectorial y la integral de línea escalar vistos antes, y plantea la pregunta de cuándo el resultado solo depende de los extremos: la respuesta son los campos conservativos.