Regla de la cadena en varias variables

Con una sola variable, \((f\circ g)'=f'(g)\,g'\). Con varias, cada variable intermedia es un camino por el que el parámetro \(t\) llega a \(z\), y las contribuciones se suman. Un diagrama de árbol ayuda: de \(z\) salen ramas a \(x\) y a \(y\), de cada una una rama a \(t\); se multiplican las derivadas a lo largo de cada camino y se suman los caminos. Con \(z=x^2y\), \(x=t\), \(y=t^2\) resulta \(2xy+x^2\cdot2t=4t^3\) al sustituir, igual que derivar \(z=t^4\).

Si las variables intermedias dependen de dos parámetros, \(x=x(s,t)\) y \(y=y(s,t)\), se obtienen dos fórmulas con parciales: \(z_s=f_xx_s+f_yy_s\) y \(z_t=f_xx_t+f_yy_t\). En general hay un término por cada variable intermedia, y la fórmula vale para cualquier número de variables.

En forma vectorial, si \(\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle\), entonces \(\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t))=\nabla f\cdot\mathbf{r}'(t)\). Por eso la derivada direccional usa el producto punto con el gradiente, y por eso si \(f\) es constante sobre la curva, \(\nabla f\perp\mathbf{r}'\). La misma idea da la derivación implícita: de \(F(x,y)=0\) con \(y=y(x)\) se obtiene \(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\) si \(F_y\ne0\).

Los errores típicos son olvidar un término, usar \(y_t\) donde corresponde \(y_s\), o evaluar las parciales de \(f\) en el punto equivocado: \(f_x\) y \(f_y\) se evalúan en \((x(t),y(t))\). La regla exige que \(f\) sea diferenciable, no basta con que existan las parciales.