Límite de una función de varias variables

En una variable solo hay dos direcciones para acercarse a \(a\): izquierda y derecha. Con dos variables hay infinitos caminos hacia \((a,b)\): rectas, parábolas, espirales. Que el límite exista exige que \(f\) se acerque al mismo \(L\) por todos ellos. Formalmente, para cada \(\varepsilon>0\) debe haber un \(\delta>0\) tal que \(|f(\mathbf x)-L|<\varepsilon\) siempre que \(0<\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta\).

Esto da dos reglas prácticas. Si \(f\) es polinomio, racional con denominador distinto de cero o composición de funciones continuas, el límite se obtiene sustituyendo. Si dos caminos dan valores distintos, el límite no existe; por ejemplo, \(\frac{xy}{x^2+y^2}\) vale \(0\) sobre el eje \(x\) y \(\frac12\) sobre \(y=x\). Pero ojo: probar muchos caminos nunca demuestra que el límite existe, como muestra \(\frac{xy^2}{x^2+y^4}\), que da \(0\) sobre todas las rectas y \(\frac12\) sobre \(x=y^2\).

Para demostrar que existe se acota la expresión, con el teorema del sándwich, o se pasa a polares: con \(x=r\cos\theta\), \(y=r\operatorname{sen}\theta\), basta que la expresión tienda a \(L\) cuando \(r\to0\) con independencia de \(\theta\). Las propiedades de los límites en una variable (suma, producto, cociente) siguen valiendo, y de este concepto se desprende la continuidad y, con ella, las derivadas parciales.