Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-005 · ★☆☆ Básico
Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+2x+2}\).
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- C. \(\pi\)
Explicación
Como \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), los polos son \(-1\pm i\). El superior es \(-1+i\), con residuo \(1/(2i)\), y la integral es \(\pi\).
Repasa el concepto: Integral real por residuos
Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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