Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-006 · ★★☆ Intermedio
Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}\).
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- B. \(\pi/2\)
Explicación
El polo \(i\) es doble. El residuo de \(1/((z-i)^2(z+i)^2)\) es la derivada de \((z+i)^{-2}\) en \(i\): \(-2(2i)^{-3}=\tfrac{1}{4i}\), y \(2\pi i\cdot\tfrac{1}{4i}=\pi/2\).
Repasa el concepto: Integral real por residuos
Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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