Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-009 · ★★★ Avanzado

Sea \(f=P/Q\) racional sin polos reales. ¿Qué condición garantiza que la integral sobre el semicírculo \(C_R\) tienda a \(0\) cuando \(R\to\infty\)?

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A. \(\deg Q\ge \deg P+2\)

Explicación

Si \(\deg Q\ge\deg P+2\), entonces \(|f(z)|\le M/R^2\) sobre \(C_R\) y la integral está acotada por \(M\pi R/R^2\to0\). Con diferencia \(1\) solo se tiene \(|f|\sim 1/R\) y la cota no tiende a \(0\).

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Repasa el concepto: Integral real por residuos

Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]

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