Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-003 · ★☆☆ Básico
Para \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+9}\), ¿qué polos de \(1/(z^2+9)\) se incluyen en la suma de residuos?
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- A. Solo \(3i\)
Explicación
Se cierra por el semiplano superior, que contiene a \(3i\) pero no a \(-3i\). El resultado es \(2\pi i\cdot\frac{1}{6i}=\pi/3\).
Repasa el concepto: Integral real por residuos
Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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