Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-007 · ★★☆ Intermedio
Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\).
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- A. \(\pi/6\)
Explicación
Los polos superiores son \(i\) y \(2i\), con residuos \(\tfrac{1}{6i}\) y \(-\tfrac{1}{12i}\). Suman \(\tfrac{1}{12i}\) y \(2\pi i\cdot\tfrac{1}{12i}=\pi/6\).
Repasa el concepto: Integral real por residuos
Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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