Ejercicio · ZW-INTEGRAL-REAL-POR-RESIDUOS-010 · ★★★ Avanzado
Calcula \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}}\).
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- C. \(3\pi/8\)
Explicación
El polo \(i\) es triple; su residuo es \(\tfrac12\,\tfrac{d^2}{dz^2}(z+i)^{-3}\) evaluado en \(i\), es decir \(\tfrac{3}{16i}\). Entonces \(2\pi i\cdot\tfrac{3}{16i}=3\pi/8\).
Repasa el concepto: Integral real por residuos
Método para calcular \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx\) con \(f\) racional: se cierra el eje real con un semicírculo del semiplano superior y se aplica el teorema de los residuos.
\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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