Ejercicio · ZW-RESIDUO-008 · ★★★ Avanzado
¿Cuál es el residuo de \(\frac{1}{z^3(z-2)}\) en \(z=0\)?
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- C. \(-\frac18\)
Explicación
Cerca de \(0\), \(\frac{1}{z-2}=-\frac12\left(1+\frac z2+\frac{z^2}{4}+\cdots\right)\). Dividir entre \(z^3\) pone el término \(z^2\) en \(z^{-1}\): el coeficiente es \(-\frac12\cdot\frac14=-\frac18\).
Repasa el concepto: Residuo
El residuo de una función \(f\) en una singularidad aislada \(z_0\) es el coeficiente \(a_{-1}\) de \((z-z_0)^{-1}\) en su serie de Laurent en un disco perforado de radio \(r\).
\[\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=r/2}f(z)\,dz\]
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